LA LEY DE OHM CLASICA O MACROSCOPICA

La densidad de corriente J

Detalle de la corriente en el conductor, la densidad de corriente y la velocidad de arrastre. En la figura aparece el esquema de un trozo elemental de material (ampliado) por el que circula una corriente eléctrica; se aprecia el sentido del movimiento de cargas según el campo eléctrico aplicado (por tanto, el de las cargas positivas) y que por convenio es el de circulación de la corriente

La densidad de corriente ${\displaystyle {\vec {J}}}$ es un vector que lleva la dirección de la corriente y el sentido del campo eléctrico que acelera las cargas (si el material es lineal) como se explica en la Ley de Ohm en forma local.⁸ El vector ${\displaystyle {\vec {J}}}$ establece, además, una relación directa entre la corriente eléctrica y la velocidad de arrastre ${\displaystyle v_{a}\ }$ de las partículas cargadas que la forman. Se supone que hay ${\displaystyle n}$ partículas cargadas por unidad de volumen. Se tiene en cuenta también que la ${\displaystyle {\vec {v_{a}}}}$ es igual para todas las partículas. En estas condiciones se tiene que en un tiempo ${\displaystyle dt}$ una partícula se desplazará una distancia ${\displaystyle v_{a}\cdot dt}$.

Se elige un volumen elemental tomado a lo largo del conductor por donde circula la corriente y se amplía para observarlo mejor. Por ejemplo, el volumen de un cilindro es igual a ${\displaystyle Av_{a}dt}$. El número de partículas dentro del cilindro es ${\displaystyle n(Av_{a}dt)}$. Si cada partícula posee una carga ${\displaystyle q}$, la carga ${\displaystyle dQ}$ que fluye fuera del cilindro durante el tiempo ${\displaystyle dt}$ es ${\displaystyle nqv_{a}Adt}$.

La corriente por unidad de área trasversal se conoce como densidad de corriente ${\displaystyle J}$.⁸

${\displaystyle J={{I} \over {A}}=nqv_{a}}$

La densidad de corriente, y por tanto el sentido de circulación de la corriente, lleva el signo de las cargas positivas, por ello sustituimos en la expresión anterior ${\displaystyle q}$ por ${\displaystyle |q|}$ y se obtiene, finalmente, lo siguiente:

${\displaystyle I={{dQ} \over {dt}}=n|q|Av_{a}}$

La densidad de corriente se expresa como un vector cuyo sentido es el del campo eléctrico aplicado al conductor. Su expresión vectorial es:

${\displaystyle {\vec {J}}=nq{\vec {v_{a}}}}$

Si por ejemplo se tratara de electrones, su carga ${\displaystyle q}$ es negativa y el sentido de su velocidad de arrastre ${\displaystyle v_{a}\ }$ también negativo; el resultado sería, finalmente, positivo.

Intensidad de corriente eléctrica y ley de Ohm en forma local[editar]

Las aplicaciones más generales sobre la corriente eléctrica se realizan en conductores eléctricos, siendo los metales los más básicos.⁹ En un metal los electrones de valencia siguen el llamado modelo de electrón libre, según el cual los electrones de valencia de un metal tienen libertad para moverse y están deslocalizados, es decir, no se pueden asociar a ningún ion de la estructura porque están continuamente moviéndose al azar, de forma similar a las moléculas de un gas. Las velocidades de los electrones dependen de la temperatura del material conductor; a la temperatura ambiente estas velocidades térmicas son elevadas, pudiendo alcanzar valores de ${\displaystyle 4\times 10^{6}m/s}$. Ahora bien, el hecho de que se desplacen no quiere decir que haya una corriente eléctrica: el movimiento que llevan a cabo es desordenado y al azar, de forma que en conjunto el desplazamiento de unos electrones se compensa con el de otros y el resultado es que el movimiento neto de cargas es prácticamente nulo.⁹

Cuando se aplica un campo eléctrico ${\displaystyle {\vec {E}}}$ a un metal los electrones modifican su movimiento aleatorio de tal manera que se arrastran lentamente en sentido opuesto al del campo eléctrico. De esta forma la velocidad total de un electrón pasa a ser la velocidad que tenía en ausencia de campo eléctrico más la provocada por el campo eléctrico. Así, la trayectoria de este electrón se vería modificada. Aparece, pues, una velocidad neta de los electrones en un sentido que recibe el nombre de velocidad de arrastre ${\displaystyle {\vec {v_{a}}}}$. Los valores numéricos de esta velocidad son bajos pues se encuentran en torno a los ${\displaystyle 10^{-6}m/s}$.

Trayectoria de un electrón sin ser sometido a un campo eléctrico (azul) y siendo sometido a campos cada vez más intensos (rojo). Con línea quebrada en azul se representa la trayectoria de movimiento caótico para un electrón que sufre sucesivos choques con los iones fijos de la estructura cristalina. La trayectoria en rojo representa el mismo fenómeno cuando se aplica un campo eléctrico orientado de derecha a izquierda y que puede alcanzar diferente intensidad (a mayor separación de la trayectoria azul, mayor valor del campo eléctrico). Aparece pues una pequeña desviación de las grandes velocidades térmicas de los electrones, cuyo efecto global se manifiesta como un movimiento ordenado con un pequeño valor de velocidad ${\displaystyle {\vec {v_{a}}}}$ de arrastre según la dirección del campo ${\displaystyle {\vec {E}}}$ y en sentido opuesto (debido al signo negativo de la carga del electrón).⁹

Si se toma como tiempo τ el tiempo promediado entre colisiones del electrón con los iones atómicos, usando la expresión de la aceleración que provoca un campo eléctrico sobre una carga, se obtiene la velocidad de arrastre ${\displaystyle {\vec {v_{a}}}={{q{\vec {E}}} \over {m_{e}}}\tau }$. Sustituyendo en la ecuación anterior para la densidad de corriente ${\displaystyle {\vec {J}}}$, se llega a la ley de Ohm microscópica o en forma local.⁹

${\displaystyle {\vec {J}}={{n{q^{2}}{\vec {E}}} \over {m_{e}}}\tau =\sigma {\vec {E}}}$

donde σ es la llamada conductividad eléctrica que relaciona directamente la densidad de corriente ${\displaystyle {\vec {J}}}$ en un conductor y el campo eléctrico aplicado al mismo ${\displaystyle {\vec {E}}}$. En materiales lineales u óhmicos esta relación es lineal y a mayor campo eléctrico aplicado, mayor será la densidad de corriente generada, con su misma dirección y sentido ya que es una ley vectorial.

A partir de la ley de Ohm en forma local se puede obtener la ley de Ohm macroscópica, generalmente usada. Para ello se parte de un conductor metálico de sección ${\displaystyle A}$ por donde circula una corriente ${\displaystyle I}$ y se toma una longitud ${\displaystyle l}$ del mismo. Entre los dos extremos del tramo aparece una diferencia de potencial ${\displaystyle \Delta V=E\cdot l}$. Por tanto, si se sustituye en la expresión anterior sucede que

${\displaystyle \Delta V={{m_{e}\cdot l} \over {nq^{2}\tau }}\cdot J={{l} \over {\sigma A}}\cdot I=R\cdot I}$.

Por definición, la relación entre la densidad J y la intensidad I de la corriente eléctrica que circula a través del conductor es ${\displaystyle J={{I} \over {A}}}$ y ${\displaystyle R}$ es una propiedad importante del material conductor que se llama resistencia eléctrica, que es inversamente proporcional a la conductividad del material y que representa una medida de la oposición del conductor a la conducción eléctrica.